Distraction mathématique…

Dans une discussion Bertrand n’a pas résisté à nous proposer cet … amusement.
Effectivement, c’est … amusant.

Je n’y résiste pas non plus, bien que le sujet n’aie rien à voir avec la vidéo - à moins que ???

J’ai bien sûr flashé sur … l’incongruïté de cet “exercice” en sixième…
En particulier savoir s’il était posé en contrôle (bigre !), en exo à résoudre “à la maison” (super pour les parents !) ou, vraisemblablement en recherche dirigée et collective afin de mettre en place quelques connaissances et “savoirs faire” à propos de la numération (décimale dans ce cas, mais … la “binaire” est celle de nos communications et il serait possible d’y broder le même motif !).

Bon, j’ai, assez vite obtenu la réponse : 108 pages ( il faut 9 caractères -chiffres- de 1 à 9, puis 180 de 10(inclus) à 99, celà ne fait pas le double de 99, il faut donc passer à une numérotation à 3 chiffres …
Je n’ai pas tatonné, mais, je suppose que des sixièmes peuvent en arriver facilement là et ensuite … essayer.
À 100, on a utilisé 192 chiffres puis 101 pages en demandent 195, 102 - 198, 103 -201… 107 -213 enfin pour 108, il en faut, bingo, 216, ce qui est bien le double de la pagination…

Celà obtenu, le tatonnement, sans savoir s’il va ou non “fonctionner” ce n’est pas vraiment mathématique, il me semble qu’il faut conduire les gamins vers une autre démarche…

Et, je n’ai pas expérimenté la pédagogie, mais il doit se trouver dans une classe quelques “petits malins” pour, par exemple, faire remarquer que si l’on met, avec des zéros superflus, tous les numéros à deux chiffres … y a plus de problème, ou plus académiquement que le problème est résolu - tout au moins si l’on arrête la pagination à 99.

Alors, si on n’utilise pas les zéros “inutiles” pourquoi, ça ne colle pas?
tout bêtement parce que les 9 premiers nombres causent un déficit de 9 chiffres …
Alors puisqu’ au delà de 99 tous les nombres auront trois chiffres donc chacun un de plus que deux, il suffit d’en rajouter 9 pour combler le déficit.
Et, 99+9 = 108.

À mon avis, il devrait être possible d’obtenir ça d’ élèves de sixième : faut que j’attende encore quelques années, mon dernier petit-fils a 4 ans … il sait dessiner un … carré (c’est le prélude nécessaire …au calcul intégral …).

Oui, cette histoire farfelue, c'est, à mon avis, une bonne question relativement aux mathématiques !
Elle est bonne car elle peut être dépassée par des conséquences … imprévues.

Si, au lieu du double du nombre de pages, on veut le triple, le quadruple … etc en nombre de chiffres nécessaires pour paginer ?
Le même raisonnement de départ, "compenser les zéros inutiles” fournit encore la démarche,
Pour tripler, de 001à 999 : problème résolu, cependant de 001 à 009 il faut 2•9 zéros = 18, puis de 010 à 099, il en faut 90 soit … 108, alors on ira jusqu’à la page 999+108 = 1107
Pour quadrupler, de 0001 à 0009 / 3•9 = 27 “zéros inutiles”, de 0010 à 0099 - 2•90 = 180 “inutiles” et de 0100 à 0999 + 1•900 “à compenser en nombres à 5 chiffres soit, en tout … 1107 à ajouter à 9999, il faudra alors 11106 pages…

Rien n’empèche de continuer, cependant, en passant la seconde (ça tire plus de l‘ornière que la sixième !)
on peut -je pense- établir la formule où P, c, et n sont des entiers; P est le nombre de pages, c, celui des chiffres et n le multiplicateur tel que c = P • n

Pn = ((10^n)-1) + {9•∑de c= 1à c= n-1 [des c•10^(n-c-1)]}

J’ai écrit “en ligne” en utilisant des signes (inhabituels) pour la multiplcaton • , pour l’élévation à une puissance ^ et le symbole ∑ qui somme (totalise) une suite de termes où un paramètre (c) prend les valeurs successives entre deux bornes (incluses) [la notation usuelle en maths s’ écrit sur plusieurs niveaux, en dessous le ∑ (sigma), la borne inférieure de c, et audessus, la borne supérieure qui ici déped aussi de n].

si, n = 2
P2 = ((10^2)-1) + {9•∑ de c=1 à c=1 [“des" c•10^(2-1-1)]}
soit
P2 = (100-1) + 9•10^0
P2 = 99 + 9
P2 = 108

si, n = 3
P3 = ((10^3)-1) + {9•∑ de c=1 à c=3-1 [des c•10^(3-c-1])
soit
P3 = [(10^3)-1] + {9•[(1•10^1)+(2•10^0)]}
P3 = [1000-1]+ {9•[10 + 2]}
P3 = 999 + {9•12}
P3 = 999 + 108
P3 = 1107

si, n = 4
P4 = ((10^4)-1)+ {9•∑ de c=1 à c =4-1 [des c•10^(4-c-1)]}
soit
P4 = (10000-1) + {9•[(1•10^2)+(2•10^1)+(3•10^0)]}
P4 = 9999+ {9•[100+20+3]}
P4 = 9999 + {9•123}
P4 = 9999 + 1107
P4 = 11106

etc

Mais ,en fait on voit qu’il n’est pas nécessaire de continuer avec cette démarche - un peu lourde…

P2 = 108,
P3 = 999 + 108 soit P3 = (10^3)-1+ P2 —> 1107
P4 = 9999 + 1107 soit P4 = (10^4)-1 + P3 —> 11106
d’où
P5 = 99999+11106 = 111105
P6 = 999999+ 111105 = 1111104

C’est une suite définie par Pn = (10^n )-1+ P(n-1)
où on peut considérer que P0 = 0 —> P1 = (10^1)-1+P0 = 10-1+0 =9 —> P2= (10^2)-1+P1 = 100-1 + 9 = 108 etc.

est encore … amusant :
0000000000
0000000009
0000000108
0000001107
0000011106
0000111105
0001111104
0011111103
0111111102
1111111101

Quels sont les deux suivants et la suite ?

Et, ensuite, si au lieu de “n” entier, on en faisait une progression dans les rééls ???
Bertrand, dans quelle “classe” faut-il proposer l’ amusement ?

 

Tu as raison,à priori, cette réponse me tentait, peut-être d' ailleurs est-ce celle attendue par le prof. C'est pourquoi, j'ai quelque part mis "caractère - chiffre", un peu comme les objets du temps de Gutenberg ...

Mais cette solution à dix chiffres - pour la numération décimale - est sèche, pas "amusante", c'est pourquoi, j'ai brodé et, … ça pourrait continuer… vers les exponentielles.

Ou une numération autre que décimale, binaire par exemple… ça fait fonctionner bien plus d '"outils" que la base dix.
En énumérant 1, 10, 11 et 100 sont utilisé(e)s huit (variantes des deux) chiffres et décompté jusqu'à … quatre …
La tache de cette pauvre gamine aurait été bien plus rapidement effectuée

 

Au moins quatre dans mes camarades syndiqués

la plus sophistiquée, de type taupin (il y en a trois autres dont celle du professeur de sixième )

 

Bravo ..brillante solution ...

Personnellement j'étais parti sur une approche de type

"Soit Np le nombre de pages d'un cahier, et Nc(Np) le nombre de chiffres utilisés pour numéroter ces Np pages."
mais je me suis planté ..alors j'ai repris mes bons vieux x et y pour proposer bien modestement selon l'adage " la solution est dans l'énoncée" :

2( 9+x+y) =9+2x+3y
18+2y=9+3y
y=9
avec
9 les 9 premiers chiffres
x les nombres à 2 chiffres( de 10à 99)
y les nombres à 3 chiffres(de 100à 999)

Ce n'est pas d'une grande envolé lyrique..

Enfin la solution officielle, car en 6 ième on ne sait pas ce qu'est une équation !!

CQFD et effectivement simple

Cas vécu ....

N.B. en dernier "camarade" a eu une approche empirique par une page Excel

 

Bonjour,

Je ne comprends pas.

"Le nombre de pages est égal au double du nombre de chiffres utilisés pour le numérote"

Je crois que la réponse est 0 pages.

Nous avons tous considéré que le nombre de chiffres est égal au double du nombre de pages. Moi le premier.

Dans ce cas il faut remarquer que le nombre de chiffres est toujours pair.
A la page 100 nous avons utilisé 9+2x90+3 chiffres soit 192 chiffres. Il en faudrait 200, donc il maque 8.
Toute page ajoutée génère 3 chiffres (impair); il faut donc calculer avec 2 pages.
2 Pages utilisent 6 chiffres alors qu'il en faudrait 4 (2 fois 2 pages). donc un excédent de 2 chiffres. Il en manquait 8, il faut donc 4 fois 2 pages soit 108 pages.
Vérification : 9+180+27=216 soit 2 fois 108 pages
CQFD

A la relecture je m'aperçois que j'ai développé la solution officielle

Cordialement

Jean

 

C'est d' évidence une solution que l'on peut qualifier de triviale…
Avec l' objection "sémantique" et correcte de saint kro, on voit que la question posée à ces sixièmes pose aussi un problème d' interprétation, cependant, la première phrase de l' énoncé est:

Ça ne me parait pas concerner un cahier de dix pages et encore moins un de zéro page… C'est pourquoi, on est amené à décompter le nombre de caractères chiffres qui ont été tracés par cette jeune fille pour "paginer" ce gros cahier …
En fait, il est moyen, le cahier, et il aurait été possible aussi d' évaluer le temps qui a été consacré à cette tâche … virtuelle!

Je dirais, mais je pense que c'est évident, que ce qui m'a intéressé dans cet "exercice", est au delà des données et de la question arbitraire posée, de développer vers de l' imprévu … Et, ça peut aller encore plus loin
Ce genre de développement est fréquent en mathématiques, et, c'est ce que j'y trouve d' … amusant.

D'ailleurs, pour moi, la question était plutôt:

Cependant, merci à tous ceux qui ont participé ou qui participeront à cette discussion: plus on est à s'y amuser, chacun à sa manière, mieux c'est

 

Bien lire:
"Le nombre de pages est égal au double du nombre de chiffres utilisés pour le numérote"

Le nombre de pages ne peut jamais être supérieur au nombre de chiffres.
Il est tout au plus égal pour les pages ,1 à 9, ensuite le nombre de chiffres augmente plus vite que le nombre de pages.
Ne serait-ce pas un problème d'attention su genre "..... où sont enterrés les survivants.."

Jean

 

Alors, là … c'est vrai que, va savoir pourquoi et comment, le (sub ou in) conscient fait lire cette propositionen inversant sujet / attribut …
Je ne réalise que … maintenant,
donc:
1- faut que j'retourne au CP apprendre à lire ce qui est écrit,
2- que la "solution triviale" (au sensmatheux de l'expression) reste vraie pour le problème… s'il était posé pour être … "amusant"

nb: il n'est pas interdit à des non ou anti - matheux de donner leur avis dans ce "thread"

 

Là, Saint-kro, tu me surprends …
Vu que pour les Romains, juste sortis de l' age de pierre, un GROS CAHIER pouvait n'avoir que III pages … il en fallait bien le double pour le paginer :
I , II , III
Eh, oui en latin il fallait savoir compter jusqu'à six pour le faire jusqu'à trois,
c'est le principe de la récursivité

 

Est-ce que vous ne confondez pas "page" et "feuille" ou "folio", sachant qu'il y a 2 pages par feuille ?

 

Certes, c'est bien possible …
Mais, ça ne change rien au dénombrement des chiffres de la numérotation des entités successives qui sont, je pense, des pages, mais je ne suis pas l'auteur du problème et celui-ci, le prof de sixième, dans sa correction rend aussi 108 alors ???

Mais, certes, l' imprimeur d'un bouquin fait la différence, et, "il" n'imprime pas ou plus
page par page …
La réalité est bien souvent différente des exos de maths de sixième et, dans le domaine scolaire, ça ne concerne pas nécessairement que les exos de maths.
Dans tous les cas ce qui est "interessant" et peut être "amusant", c'est leur … prolongement !

Et, ici, de différentes façon, il y a des … prolongements, donc, c'est bien

 

Suivant la théorie du genre, le résultat est indépendant du fait que ce soit une fille (jeune) ou un garçon qui doit numéroter ce putain de cahier ...
Et donc la donnée fille ou garçon est superflue, et donc non nécessaire à la résolution du problème.
C'est une donnée qui m'a induit en erreur !!

 

… xhonnor,
…
dans l' attente de la participation des

FEMENs